МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА В ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ С ТЕСТАМИ

В.С.Аванесов предлагает анализировать результаты теста, используя коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции - числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражающая их взаимосвязь. Если коэффициент больше 0, то при увеличении значений одной из величин, вторая имеет тенденцию к увеличению; если меньше нуля – к снижению.

Для расчета коэффициента корреляции используются последовательно четыре формулы:

1. Вначале находится сумма квадратов отклонений баллов испытуемых от среднего арифметического балла в интересующем задании. Это делается по формуле:

2. Затем находится сумма квадратов отклонений тестовых баллов испытуемых от среднего арифметического балла по всему тесту.

3. Находится скорректированная на средние значения сумма попарных произведений X и Y, по формуле:

В этой формуле представляет собой сумму произведений баллов каждого испытуемого по i-му заданию и по i-му тестовому баллу испытуемых. Вторая часть формулы представляет собой коррекцию на средние значения X₁ и X₂.

4. Рассчитывается коэффициент корреляции по формуле:

Рассмотрим анализ результатов тестирования на конкретном примере. Для удобства оперирования большими массивами чисел используется специальный аппарат матричной алгебры. Предположим, что шесть респондентов (n=6) ответили на три высказывания теста (k=3). Если за ответ, совпадающий с ключом, давать респонденту один балл, а за прочие ответы – ноль, то результаты такого опроса можно представить в виде матрицы чисел. Обозначим ее буквой А.

А =

-----------------------

В тесте, где оценки даются по семибалльной шкале, результаты у шести опрошенных в трёх утверждениях представим следующим образом:

В =

----------------------

После проведения тестирования мы можем получить следующие результаты: сложив элементы матрицы по столбцам, получаем сумму баллов, набранную респондентами в каждом отдельном высказывании. Анализ полученных сумм показывает, что в результате первого тестирования больше баллов получено в третьем высказывании, меньше – в первом. Аналогично результаты второго теста показывают, что во втором задании сумма балов за ответы наибольшая, в первом – наименьшая.

Средние арифметические значения находятся по формуле

где - средняя арифметическая,

n – число респондентов,

X_i – балл респондента i в отдельном высказывании.

Если в каждом столбце А или В отнять соответствующие им средние арифметические значения, то получим отклонение от средней арифметической.

Произведение Х на Х’ дает матрицу SPSS:

.

Матрица SPSS примечательна тем, что элементы ее главной диагонали есть суммы квадратов отклонений от средних арифметических (SS). Внедиагональные элементы этой матрицы образуют величины, необходимые для расчеты коэффициентов корреляции. Существует и другой способ получения этих значений. Формула расчёта SS:

.

Существует эквивалентная ей формула:

.

Формула расчета значений - скорректированных сумм произведений элементов X₁ на X₂:

.

Расчеты SP и SS сводятся в матрицу SPSS.

.

После расчетов матрица SPSS для матрицы В примет следующий вид:

.

Сравнивая матрицу SPSS, ранее полученную как результат матричного умножения X’X и матрицу SPSS, рассчитанную по указанным формулам, мы можем видеть полное совпадение результатов, если не считать добавленного в последнем случае вектора Y.

Полученные значения позволяют сразу же перейти к расчёту главных характеристик как теста в целом, так и отдельных его высказываний.

Дисперсия S² рассчитывается по формуле

,

а стандартное отклонение S:

.

Все произведенные расчеты полезно свести в одну матрицу. Для этого расширим исходные матрицы А и В, включив в них суммарные векторы.

В тестовой практике часты случаи, когда наличие интересующего признака оценивается единицей, отсутствие – нулем. Примером таких данных является матрица А. Вначале рассчитывается доля правильных ответов, указывающих на наличие признака – p. Для случая дихотомических данных . Находим далее . Произведение дает сумму квадратов отклонений от средних арифметических (SS).

Деление SP и SS на n-1 дает значение ковариаций и дисперсий. Извлекая корень из дисперсии, получим стандартное отклонение каждого утверждения теста и суммарных векторов Y. Для того, чтоб рассчитать коэффициенты корреляции необходимо воспользоваться формулой

.

Иначе коэффициент корреляции можно получить

,

где - коэффициент корреляции первого утверждения со вторым.

Таблица 2 показывает как мы можно оценить тест при известном коэффициенте корреляции.

Таблица 1. Оценка качества теста по величине r_xx

Величина коэффициента надежности	Качество теста
0,00 – 0,599	Совсем неудовлетворительное
0,600 – 0,699	Неудовлетворительное
0,700 – 0,799	Удовлетворительное
0,800 – 0,899	Хорошее
0,900 – 0,949	Очень хорошее
0,950 - выше	отличное