Запишем поле плоской монохроматической волны, распространяющейся в направлении оси z, в форме

E_x = a₁cos(kz-ωt+φ₁ )
E_y = a₂cos(kz-ωt+φ₂ )
E_z = 0

где a₁ и a₂ амплитуды ортогональных составляющих напряжённости электрического поля, k = 2π/λ - волновое число, λ - длина волны, ω - круговая частота, t - время, φ₁ и φ₂ - начальные фазы.

Компоненты E_x и E_y можно считать координатами конца вектора

E = iE_x + jE_y

а выписанные соотношения – параметрическими уравнениями кривой, описываемой концом вектора E. Найдём каноническое уравнение этой кривой. Обозначая kz-ωt = τ и проведя элементарные преобразования, получаем

E_x/a₁ = cosτcosφ₁ - sinτsinφ₁
E_y/a₂ = cosτcosφ₂ - sinτsinφ₂

Умножая первое уравнение на sinφ₂, а второе на sinφ₁, и вычитая второе уравнение из первого

E_xsinφ₂/a₁ - E_ysinφ₁/a₁= cosτ*sin(φ₁ + φ₂)

Аналогичная процедура с косинусами дает

E_xcosφ₂/a₁ - E_ycosφ₁/a₁= -sinτ*sin(φ₁ - φ₂)

Возведём два последних выражения в квадрат и просуммируем левые и правые части и окончательно получим

E_x²/a₁² + E_y²/a₂² - 2E_xE_ycos(φ₁ - φ₂)/a₁a₂ = sin²(φ₁ - φ₂)

Выражение представляет собой каноническое уравнение эллипса со следующими геометрическими параметрами (рис. 4.1).

Рисунок 4.1. Эллиптическая поляризация электромагнитной волны.

Эллипс вписан в прямоугольник со сторонами 2a₁ и 2a₂ и касается сторон прямоугольника в точках [±a₁,±a₂cos(φ₂ - φ₁)],[±a₁cos(φ₂ - φ₁),±a₂]

Ориентация эллипса относительно осей координат и значения его полуосей также определяются величинами a₁ и a₂ и разностью фаз

δ = φ₂ - φ₁

Как можно показать, угол наклона ψ и значение полуосей эллипса a и b находятся из выражений

tg2ψ = (2a₁a₂cosδ)/(a₁² - a₂²)
a² + b² = a₁² + a₂²
±ab = a₁a₂sinδ

Наличие двух знаков в последнем выражении говорит о возможности двух направлений движения конца вектора E.