2.4. Решение логических задач

Рассмотрим решение логических задач на следующем примере.

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

Алеша:"Сосуд греческий и изготовлен в V в."
Борис: "Сосуд финикийский и изготовлен в III в."
Гриша: "Сосуд не греческий и изготовлен в IV в."

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решить задачу - это значит найти истинное высказывание, отвечающее на поставленный в задаче вопрос.
Введем следующие обозначения.
Обозначим высказывание: "Сосуд греческий" буквой Г;
 "Сосуд финикийский" - Ф;
 "Сосуд изготовлен в V в." - П;
 "Сосуд изготовлен в III в." - Т;
 "Сосуд изготовлен в IV в." - Ч.

После того, как введены обозначения для простых высказываний, составим сложные высказывания - предположения школьников.

Алеша сказал: "Сосуд греческий и изготовлен в V в.". Это сложное высказывание можно записать так: . Из слов учителя следует, что это высказывание ложно. Но Алеша прав в одном из предположений, значит либо Г=1, либо П=1. Значит, истинным будет высказывание (сосуд не греческий, но изготовлен в V в.) или (сосуд греческий, но изготовлен не в V в.). Это рассуждение приводит нас к следующему истинному высказыванию:

. (12)

Проведя аналогичные рассуждения о высказываниях Бориса и Гриши, мы получим еще два сложных высказывания:

(13)
. (14)

Каждое из высказываний (12), (13) и (14) будем рассматривать как логические уравнения, неизвестными в которых являются простые высказывания Г, Ф, П, Т, Ч. При составлении уравнений мы учли высказывания ребят и замечание учителя, но этого не достаточно, ведь сосуд не может быть одновременно и греческим, и финикийским, следовательно,

; (15)

Сосуд не может быть одновременно изготовлен и в третьем и в четвертом веке

; (16)

Сосуд не может быть одновременно изготовлен и в четвертом и пятом веке

; (17)

Сосуд не может быть одновременно изготовлен и в третьем и в пятом веке

. (18)

Поскольку мы составляем истинное логическое уравнение, а (15), (16), (17) и (18) ложные высказывания, к ним требуется применить отрицание и преобразовать их по правилам де Моргана (9). В итоге получим:

; (15')

; (16')

; (17')

. (18')

Мы получили семь уравнений (12), (13), (14), (15'), (16'), (17') и (18') над пятью высказываниями Г, Ф, П, Т, Ч. Если все эти высказывания логически перемножить, то мы получим сложное высказывание, в котором сведено воедино все, что говорилось о сосуде. Обозначим это высказывание S(Г, Ф, П, Т, Ч)

. (19)

Решить задачу - значит указать, при каких значениях высказываний Г, Ф, П, Т и Ч

S (Г, Ф, П, Т, Ч) = 1. (20)

Сделать это можно, построив таблицу истинности (19) и найдя единственную строку, в которой S (Г, Ф, П, Т, Ч) = 1. Поскольку таблица истинности в данном случае очень большая, ее построение можно доверить компьютеру.

Закрыть
Загрузить файл Exel с таблицей истинности

Можно поступить иначе: упростить выражение (19), тогда ответ задачи будет очевиден и без построения таблицы истинности.

Ответ: cосуд изготовлен в Финикии в V в.