Примечания
- Цитировано по: Blume H. Conversation with Daniel Dennett
(Digital Culture). Internet. P. 5.
- Витгенштейн Л. Философские работы. М.:
Гнозис, 1994. С. 72.
- Фейнман Р. Характер физических законов.
М., 1968. С. 34.
- Пойа Д. Математическое открытие. М.:
Наука, 1970. С. 13.
- Пуансо Л. Размышления об основных
положениях теории чисел // Сб. научно-популярных
ст. по основаниям арифметики (философия числа).
Казань, 1906. С. 184.
- Там же. С. 186.
- Клейн Ф., Гофлер А. Пограничные вопросы
математики // Новые идеи в математике. N 8.
Математика - философия. 1. СПб., 1914. С. 117.
- Вейль Г. О философии математики. М.-Л.:
ГТТИ, 1934. С. 33.
- Dummett V. TH. Logical Basic of Metaphysics. Cambridge, Massachusetts,
Harvard University Press? 1991. P. 1.
- Лакатос И. Доказательство и
опровержение. М.: Наука, 1967. С. 7.
- Гильберт Д. Математические проблемы.
Речь на II Международном математическом
Конгрессе // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 470-471.
- Пуанкаре А. Наука и гипотеза. СПб., 1906. С.
162.
- Там же. С. 9, 79.
- Борн М. Физика в жизни моего поколения.
М.: ИЛ, 1963. С. 325.
- См. Vogel H. Physik und Philosophie fur Max Born. Veb Deutschern Verlag
der Wissenschaften. Berlin, 1968.
- Вахидов А.В. Специфические черты
математической строгости // Философские науки.
1982. N 3. С. 146.
- Абдильдин Ж., Насынбаев А.
Диалектико-логические принципы построения
теории. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 222.
- В отечественной литературе подобное
определение можно найти в монографии: Рузавин
Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль,
1968. С. 41.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое
математика? М.: Просвещение, 1967. С. 24.
- Гильберт Д., Аккерман В. Основы
теоретической логики. М., 1947. С. 174.
- Пуанкаре А. Наука и гипотеза // О науке.
М.: Наука, 1983. С. 23.
- Клини С. Введение в метаматематику. М.,
1957. С. 29-30.
- Бурбаки Н. Очерки по истории математики.
М.: ИЛ, 1968. С. 259. Заметим: Н. Бурбаки - коллективный
псевдоним группы современных математиков, по
преимуществу французских.
- Цитировано по: Кунтус Ф. Математика и
точное изложение теоретико-познавательных
проблем // Новые идеи в философии. СПб.:
Образование, 1914. N 11. С. 130.
- Там же. С. 133.
- Куайн У.В. Основание математики //
Математика в современном мире. М.: Мир, 1967. С. 100.
- Эддингтон А. Теория относительности.
Л.-М., 1934. С. 11.
- Зинченко В.П. Психологическая теория
деятельности ("воспоминания о будущем") //
Вопросы философии. 2001. N 2. С. 78.
- Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.,
1948. С. 56.
- Клайн М. Математика. Утрата
определенности. М.: Мир, 1984. С. 335.
- Цитировано по: Вопросы истории
естестовзнания и техники. 1981. N 1. С. 58.
- Пуанкаре А. Наука и гипотеза. О науке. М.:
Наука, 1983. С. 8.
- Реньи А. Диалоги о математике. М.: Мир, 1969.
С. 34.
- Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс,
1973. С. 115.
- Подробнее о позиции Л. Витгенштейна см.:
Успенский В.А. Витгенштейн и основания
математики // Вопросы философии. 1998. N 5. С. 86.
- Цитировано по: Стройк Д.Я. Краткий очерк
истории математики. М.: Наука, 1978. С. 315.
- Колмогоров А. Современные споры о
природе математики // Научное слово. 1929. N 6. С. 48.
- Подробный анализ номиналистского языка
см.: Генкин Л. Номиналистский анализ
математического языка // Математическая логика и
ее приложения. М.: Мир, 1965. С. 216-223.
- Цитировано по: Френкель А., Бар-Халлел И.
Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 400.
- Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы
математической логики и теории множеств. М.:
Прогресс, 1965. С. 350.
- См.: Смирнов В.А. О достоинствах и
недостатках одной логико-философской концепции
// Философия марксизма и неопозитивизм. М.: Изд-во
МГУ, 1963. С. 364-378.
- Кантор Г. Основы общего учения о
многообразиях // Новые идеи в математике. СПб.
Образование. 1914. N 6. С. 30.
- Ван Хао. Процесс и существование в
математике // Математическая логика и ее
применения. М.: Мир, 1965. С. 315-339.
- Вейль Г. О философии математики. М.-Л.:
ГТТИ, 1934. С. 26.
- Ферроль . Письмо Ж. Адамару // Ж. Адамар.
Психология процесса изображения в математике. М.:
Советское радио, 1970. С. 58.
- Рашевский П.К. Предисловие // Д. Гильберт.
Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 7.
- Карри Х. Основания математической
логики. М.: Мир, 1969. С. 27.
- Хорафас Д.Н. Системы и моделирование. М.:
Мир, 1967. С. 13.
- Хлебников В. Собр. Произведений в 5 тт. Т.
3. М., 19ХУ. С. 95.
- Герц Г. Из предыстории радио. М.-Л., 1948. С.
196.
- Цитировано по: Клайн М. Математика -
поиск истины. М.: Мир, 1988. С. 232.
- Бурбаки Н. Очерки по истории математики.
М.: ИЛ, 1963. С. 258.
- Захаров В.Д. Метафизика в науках о
природе // Вопросы философии. 1999. N 3. С. 106.
- Goethes Werke, Band III. Leipzig Kerlag die Literatur Werke Minerva.
Без года. S. 84.
- Дедекинд Р. Что такое числа и для чего
они служат? Казань, 1905. С. 34.
- Stone M. The Revolution in Mathematicals // The American Mathematical
Monthly. 1961. Vol. 68. N 8. P. 716-717.
- Гильберт Д. Математические проблемы //
Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 471.
- Цитировано по: Математика в современном
мире. М.: Знание. 1969. С.7.
- Цит. по: Суровцев В.А. Вестник ТГУ. 1999. N
267 (апрель). С. 23.
- Галилей Г. Пробирных дел мастер. М, 1987. С.
41.
- Налимов В.В. Размышления на философские
темы // Вопросы философии. 1997. N 10. С. 68.
- Ленин В.И. ПСС. Т. 18. С. 326.
- См.: Розов М.А. Значение как объект
исследования // Вопросы философии. 1998. N 1. С. 93.
- См.: Харре Р. Потенцирующие образы и
интуиция в физике // Вопросы философии. 2000. N 9. С.
78-92.
- Рид К., Гильберт М.: Наука, 1977. С. 236.
- Марчук Г.И. Математические модели в
иммунологии. М., 1980.
- Дайсон Ф. Математика в физических
науках // Математика в современном мире. М., 1967. С.
112.
- Кант И. Соч. в 6 т. Т. 6. М.: Мысль, 1966. С. 59.
- Шафаревич И.Р. Математическое мышление
и природа // Вопросы истории и естествознания. 1996.
N 1. С. 82.
- Мандельштам Л.И. Лекции по теории
колебаний. М.: Наука, 1972. С. 51.
- Цитировано по: Клайн М. Математика.
Поиск истины. М.: Мир, 1988. С. 167.
- См.: Огурцов А.П. Выступление на
"круглом столе" журнала: Псевдонаучное знание в
современной культуре // Вопросы философии. 2001.N 6.
С. 17.
- "Со времени греков, - пишет Н. Бурбаки,
- говорить "Математика" - значит говорить
"Доказательство", в том точном и строгом смысле,
какой получило это слово у греков и какой хотим
мы придать ему здесь". Бурбаки Н. Элементы
математики. Теория множеств // Жизнь науки. М.:
Наука, 1973. С. 490.
- Черч А. Математика и логика //
Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965.
С. 209.
- Дедекинд Р. Что такое числа и для чего
они существуют? Казань, 1905. С. 1.
- Кронекер Л. Понятие о числе. Казань, 1893.
С. 85.
- Это и дало основание Кронекеру
воскликнуть: "Целые числа создал господь бог.
Все остальное - математики" ("Die ganzen Zahlen hat der liebe
Gott gemacht. Alles audere ist Menschenwerk").
- Пуанкаре А. Наука и метод. СПб., 1910. С. 101.
- Язык предполагает, по Лейбницу,
указание списка всех элементарных понятий
(алфавит человеческих мыслей), основных
отношений между понятиями и правил комбинаций с
этими символами.
- Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания
теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 199-200.
- Цитировано по: Berka R., Kreiser L. Login-Texte. Kommentire
Auswahe zur Geschichte der modernen Logik. Akademie-Verlag. Berlin, 1971. S. 330.
- См. подробнее: Бирюков Б.В. Теория смысла
Г. Фреге // Применение логики в науке и технике. М.,
1960.
- Russel B. Logic and Knowledge. L., 1956. P. 38.
- См.: Ван Хао. Процесс и существование в
математике // Математическая логика и ее
применение. М.: Мир, 1965. С. 315-389.
- Цит. по: Клайн М. Математика. Утрата
определенности. М.: Мир, 1984. С. 267.
- Вейль Г. О философии математики. М.-Л.:
ГТТИ, 1934. С. 90.
- Шанин Н.А. Конструктивные вещественные
числа и конструктивные функциональные
пространства // Труды математического института
им. Стеклова. 1962. N 67. С. 287-288.
- Имея в виду отмеченные неувязки,
интуиционисты назвали канторову теорию
множества любопытным "патологическим казусом",
от которого грядущие поколения придут, вероятно,
в ужас.
- Гейтин А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 22.
- Гельмгольц Г. Счет и измерение. Казань,
1898. С. 6.
- Вейль Г. О философии математики. М.-Л.:
ГТТИ, 1934. С. 39.
- Следует заметить, что интуиционистские
теории так же могут быть изложены аксиоматически
(и это сильнейший аргумент в пользу
интуиционизма), здесь используются другие
методы.
- Подробнее см.: Смирнов В.А. Генетический
метод построения научной теории // Философские
вопросы современной формальной логики. М.: Изд-во
АН СССР, 1962. С. 263-285.
- Вейль Г. О философии математики. М.Л., 1934.
С. 52.
- Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 17.
- Heyting A. Die formalen Regeen der intuitionistischen Logik // Berka K.,
Kreiser L. Logik-Texte. Akademie-Verlag. Berlin, 1971. S. 173.
- Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.,
1948. С. 383.
- Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934.
С. 26.
- Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая
логика и ее применение. М.: Мир, 1965. С. 225.
- Цит по: Рид К. Давид Гильберт . М.: Наука,
1977. С. 202.
- Марков А.А. О конструктивной математике
// Труды математического института им. В.А.
Стеклова. Т. 17. С. 11.
- Гильберт Д. Основания геометрии. С. 382.
Вообще Гильберт удивлен, что "в среде
математиков может иметь невероятнейшее и
эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного
темпераментного и остроумного человека" (намек
на бурную деятельность Брауэра).
- Марков А.А. О логике конструктивной
математики. М.: Знание, 1972. С. 45.
- См.: там же. С. 4.
- См.: Яновская С.А. Методологические
проблемы науки. М.: Мысль, 1972. С. 188.
- Вспоминается эпизод. Бухарест, 1971 г.
Идет работа IV Международного Конгресса по
логике, методологии и философии науки.
Председатель объявил: "Слово предоставляется
профессору Матиясевичу". На кафедру вышел
высокий юноша в белой рубашке с короткими
рукавами, похожий скорее на студента или даже
старшеклассника. По залу прошел гул недоумения, и
председательствующий счел нужным пояснить, что
профессор матиясевич, хотя и молодой, но очень
талантливый ученый. Заметим, что свой выдающийся
результат он получила в возрасте 22 лет.
- Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.,
1948. С. 351.
- Как заметил профессор Кенигсбергер,
"математика принадлежит к числу тех наук,
которые ясны сами по себе". Цит. по Клейн Ф.
Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л.,
1937. С. 149.
- Г. Вейль вспоминает: На одном
математическом заседании в 1891 г. при обсуждении
доклада Г. Викера Гильберт бросил реплику: "Надо,
чтобы такие слова, как "точка", "прямая",
"плоскость", во всех предложениях геометрии
можно было заменить, например, словами стол, стул,
пивная кружка". См.: Вейль Г. Математическое
мышление. М.: Наука, 1989. С. 237..
- . См.: Гильберт Д. Основания геометрии.
М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 388.
- Е.Д. Смирнова считает, что в основе
подхода Гильберта - не доказательство
непротиворечивости само по себе, а оправдание
вводимых в математическое построение
идеализаций. Принимая исходными данные
созерцанию объекта, Гильберт не настаивает на
необходимости интерпретации каждого
математического утверждения в терминах этих
объектов, то есть полагает нужным сохранение
идеальных (не имеющих реального коррелята и
вообще не могущих быть построенными) объектов.
Вместе с тем идеальные элементы принимаются так,
что "все то, что можно сделать с их помощью, можно
сделать и без них", то есть вводятся ради
простоты, удобства, единообразия применяемых
методов. Следовательно, при допущениях,
принимаемых Гильбертом, "доказательство
непротиворечивости эквивалентно доказательству
устранимости". Смирнова Е.Д. Непротиворечивость
и элиминируемость в теории доказательств //
Философия в современном мире. Философия и логика.
М: Наука, 1974. С. 84-101.
- Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.:
ОГИЗ, 1948. С. 56.
- Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.:
ОГИЗ, 1948. С. 366.
- С помощью теории доказательства "я
хотел бы, - писал Гильберт, - окончательно
разделаться с вопросами обоснования математики
как таковыми..." Гильберт Д. Основания геометрии.
М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 365.
- Гильберт Д., Аккерман В. Основы
теоретической логики. М.: ИЛ, 1947. С. 66.
- Г. Вейль по этому поводу в шутку заметил:
"Бог существует, поскольку математика
несомненно непротиворечива. Но существует и
дьявол, поскольку доказать ее
непротиворечивость мы не можем.
- Подробнее см.: Смаллиан Р. Как же
называется эта книга? М., 1981. С. 237-238.
- Не случайно, что в надгробии могилы
Гильберта высечено: "
Wir mussen wissen.
Wir werden wissen."
("Мы должны знать. Мы будем
знать.")
- Слова, остававшиеся девизом
его жизни.
В частности, по поводу
принципов атомизма кто-то из физиков заметил:
"Если бы вся научная информация погибла, то,
располагая лишь единственной гипотезой об
атомистическом строении вещества, можно было
восстановить всю науку".
- См.: Овчинников Н.Ф. Знание - болевой
нерв философской мысли // Вопросы философии. 2001. N
2. С. 124-151. Цит. там же. С. 145.
- См. Паршин А.Н. Размышления над теоремой
Геделя // Вопросы философии. 2000. N 6. С. 92-109.
- Паршин А.Н. Размышления над теоремой
Геделя // Вопросы философии. 2000. N 6. С. 94.
- Reichenbach H. Elements of Symbolic Logic. N.-Y., 1947. P. 3.
- Впрочем, обогащение было взаимным:
логика стала более математической, а математика
- более логической (Рассел). Френкель и
Бар-Хиллел писали: "Резко разграничивать
математику (которая сама по себе, конечно, хороша)
и логику (которой каждый здравомыслящий
математик должен ради блага своей души избегать)
по меньшей мере бесполезно: математика постоянно
использует логику, хотя это использование
зачастую замаскировано и явно не учитывается".
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основвания математики.
М.: Мир, 1966. С. 64.
- Гудстейн Р.Л. Математическая логика. М.:
ИЛ, 1961. С. 11.
- Новиков П.С. Элементы математической
логики. М.: Наука, 1973. С. 7.
- Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 8.
- См.: Ивс Г., Ньюсом К.В. О математической
логике и философии математики. М.: Знание, 1968. С. 41.
- Пуанкаре А. Математика и логика // Новые
идеи в математике. N 10. Пг., 1915. С. 4.
- Вейль Г. О философии математики. С. 26.
- Поясняя идею, Гильберт проводит
аналогию между математикой и теорией шахматной
игры. В рамках последней действуют лишь правила.
Но фигуры и их положения не требуют
интерпретации (хотя ее можно дать: пешки -
солдаты, поля - географические районы и т.д.).
Однако вне игры фигуры и положения ничего не
значат. Говоря о правилах игры, мы и присоединяем
некие, путь элементарные, но содержательные
рассуждения, составляющие область
"метатеории". Аналогично в рамках самой
математики, ее синтаксиса, знаки лишены смысла и
подчинены правилам оперирования. Рассуждения о
правилах и знаках есть метанаука.
- Бурбаки Н. Очерки по истории математики.
М., 1963. С. 183.
- Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая
логика и ее применения. М., 1965. С. 224-225.
- Буурбаки Н. Очерки по истории
математтики. М. : ИЛ, 1963. С. 259.
- Лакатос И. Доказательство и
опровержение. М.: Наука, 1967. С. 80.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое
математика? М.: Просвещение, 1967. С. 19.
- Александров А.Д., Лаврентьев М.А.
Математика, ее содержание, методы. М., 1956. С. 7.
- Цитировано по: Вопросы философии. 1969. N
2. С. 161.
- См. Метлов В.И. Диалектика оснований и
развития научного знания Вопросы философии. 1976.
N 1. С. 117-128.
- Метлов В.И. Диалектика оснований и
развития научного знания // Вопросы философии. 1976.
N 1. С. 125.
- Метлов В.И. Диалектика оснований и
развития научного знания // Вопросы философии. 1976.
N 1. C/ 126
- Карри Х. Основания математической
логики. М.: Мир, 1969. С. 38-39.
- Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания
теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 323.
- См.: Huber L. Eidos und Existenz, Umrisse einer Philosophie der
Gegenwдrtigkeit. Schwabe&Co AG. Verlag; Basel, 1995.
- См.: Tarsky A. Der Wahrheits Regriff in der formalistischen Sprachen //
Berka K. Kreiser L. Logik-Texte. Kommentierte. Auswahle Zur Geschichte der modernen Logic.
Akademie- Verlag. Berlin, 1971. S. 445-559.
- См.: Хайдеггер М. Время и бытие. М., 1993. С.
299-300.
- См.: Тарский А. Истина и доказательство //
Вопросы философии. 1972. N 8. С. 136-145.
- См.: Штейнгауз Г. Задачи и размышления.
М.: Мир, 1974. С. 386.
- Галилей Г. Диалог о двух главнейших
системах мира - птолемеевой и коперниковой. М.-Л.,
1948. С. 92.
- Философский энциклопедический словарь.
М.: Советская энциклопедия, 1983. С. 667.
- Рассел Б. История западной философии. М.:
ИЛ, 1959. С. 56.
- См.: Дерюгин С.В., Наумов А.Н. Основной
вопрос философии. Вариант решения // Философские
науки. 1991. N 1.
- Раушенбах Б.В. О логике триединства //
Вопросы философии. 1990. N 11. С. 91-102.
- Есенин-Вольпин А.Е. Об антитрадиционной
(ультраинтуиционистской) программе оснований
математики и естественнонаучном мышлении //
Вопросы философии. 1996. N 8. С. 100.
- Эйнштейн А. Мотивы научного
исследования // А. Эйнштейн. Собрание научных
трудов в 4-х т. Т. 4. М.: Наука, 1967. С. 40.
- См.: Новиков П.С. Элементы
математической логики. М., 1959. С. 14.
- См.: Генцет Г. Непротиворечивость чистой
теории чисел // Математическая теория
логического вывода. М, 1967. С. 99-100.
- Гильберт Д., Бернайс П. Основания
математики. М.: Наука, 1979. С. 24.
- Арлычев А.Н. Априоризм Канта и
методология физики //Вопросы философии. 2001. N 11. С.
170.
- Конечно, с этим согласятся не все
математики. Интуиционистов и конструктивистов,
например, вполне удовлетворяет и
самоочевидность, интуитивная ясность исходных
образований.
- Гильберт Д. Математические проблемы.
Речь на Международном математическом Конгрессе
// Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 471.
- Клейн Ф. Элементарная математика с
точки зрения высшей. Т. 1. М.-Л., 1933. С. 44.
- Фейнберг Е.Л. Эволюция методологии в XX
веке // Вопросы философии. 1995. N 7. С. 41.
- В отечественной литературе вопрос
рассматривается в монографии: Рузавин Г.И. О
природе математического знания. М.: Мысль, 1968. С.
146-157.
- Эйнштейн А. Физика и реальность. М, 1965. С.
59.
- Толстой Л.Н. ПСС в 90-е гг. М.-Л. 1928-1958. Т. 45.
С. 297-298.
- Фейнман Р. Характер физических законов.
М., 1968. С. 189.
- Ньютон И.. Математические начала
натуральной философии. Кн. 3. Пг., 1916. С. 449.
- Мопертюи П. Согласование законов
природы, которые до сих пор казались
несовместимыми // Вариационные принципы
механики. М., 1959. С. 25.
- Блок А. Возмездие // Собр. соч. в 8 т. Т. 3.
М.-Л., 1960. С. 301.
- Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С. 37.
- Кто из богов придумал этот знак?
Какое исцеленье от уныний
Дает мне сочетание этих линий.
Расходится томивший душу мрак.
См.: Goethes Werke. Leipzig Verlag der Literaturwerke.
Minerva. Б/г. Dritter Band. S. 23.
- Кант И. Логика. Пг., 1915. С. 29-30.
- Харди Т. Исповедь математика //
Математики о математике. М.: Знание, 1967. С. 12.
- Исследования по истории физики и
механики. М., 1988. С. 98.
- Дирак П. Электроны и вакуум. М., 1937. С. 4-5.