Примечания

  1. Цитировано по: Blume H. Conversation with Daniel Dennett (Digital Culture). Internet. P. 5.
  2. Витгенштейн Л. Философские работы. М.: Гнозис, 1994. С. 72.
  3. Фейнман Р. Характер физических законов. М., 1968. С. 34.
  4. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. С. 13.
  5. Пуансо Л. Размышления об основных положениях теории чисел // Сб. научно-популярных ст. по основаниям арифметики (философия числа). Казань, 1906. С. 184.
  6. Там же. С. 186.
  7. Клейн Ф., Гофлер А. Пограничные вопросы математики // Новые идеи в математике. N 8. Математика - философия. 1. СПб., 1914. С. 117.
  8. Вейль Г. О философии математики. М.-Л.: ГТТИ, 1934. С. 33.
  9. Dummett V. TH. Logical Basic of Metaphysics. Cambridge, Massachusetts, Harvard University Press? 1991. P. 1.
  10. Лакатос И. Доказательство и опровержение. М.: Наука, 1967. С. 7.
  11. Гильберт Д. Математические проблемы. Речь на II Международном математическом Конгрессе // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 470-471.
  12. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. СПб., 1906. С. 162.
  13. Там же. С. 9, 79.
  14. Борн М. Физика в жизни моего поколения. М.: ИЛ, 1963. С. 325.
  15. См. Vogel H. Physik und Philosophie fur Max Born. Veb Deutschern Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1968.
  16. Вахидов А.В. Специфические черты математической строгости // Философские науки. 1982. N 3. С. 146.
  17. Абдильдин Ж., Насынбаев А. Диалектико-логические принципы построения теории. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 222.
  18. В отечественной литературе подобное определение можно найти в монографии: Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. С. 41.
  19. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 24.
  20. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947. С. 174.
  21. Пуанкаре А. Наука и гипотеза // О науке. М.: Наука, 1983. С. 23.
  22. Клини С. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 29-30.
  23. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1968. С. 259. Заметим: Н. Бурбаки - коллективный псевдоним группы современных математиков, по преимуществу французских.
  24. Цитировано по: Кунтус Ф. Математика и точное изложение теоретико-познавательных проблем // Новые идеи в философии. СПб.: Образование, 1914. N 11. С. 130.
  25. Там же. С. 133.
  26. Куайн У.В. Основание математики // Математика в современном мире. М.: Мир, 1967. С. 100.
  27. Эддингтон А. Теория относительности. Л.-М., 1934. С. 11.
  28. Зинченко В.П. Психологическая теория деятельности ("воспоминания о будущем") // Вопросы философии. 2001. N 2. С. 78.
  29. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С. 56.
  30. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С. 335.
  31. Цитировано по: Вопросы истории естестовзнания и техники. 1981. N 1. С. 58.
  32. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. О науке. М.: Наука, 1983. С. 8.
  33. Реньи А. Диалоги о математике. М.: Мир, 1969. С. 34.
  34. Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973. С. 115.
  35. Подробнее о позиции Л. Витгенштейна см.: Успенский В.А. Витгенштейн и основания математики // Вопросы философии. 1998. N 5. С. 86.
  36. Цитировано по: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978. С. 315.
  37. Колмогоров А. Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. N 6. С. 48.
  38. Подробный анализ номиналистского языка см.: Генкин Л. Номиналистский анализ математического языка // Математическая логика и ее приложения. М.: Мир, 1965. С. 216-223.
  39. Цитировано по: Френкель А., Бар-Халлел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 400.
  40. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории множеств. М.: Прогресс, 1965. С. 350.
  41. См.: Смирнов В.А. О достоинствах и недостатках одной логико-философской концепции // Философия марксизма и неопозитивизм. М.: Изд-во МГУ, 1963. С. 364-378.
  42. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб. Образование. 1914. N 6. С. 30.
  43. Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965. С. 315-339.
  44. Вейль Г. О философии математики. М.-Л.: ГТТИ, 1934. С. 26.
  45. Ферроль . Письмо Ж. Адамару // Ж. Адамар. Психология процесса изображения в математике. М.: Советское радио, 1970. С. 58.
  46. Рашевский П.К. Предисловие // Д. Гильберт. Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 7.
  47. Карри Х. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. С. 27.
  48. Хорафас Д.Н. Системы и моделирование. М.: Мир, 1967. С. 13.
  49. Хлебников В. Собр. Произведений в 5 тт. Т. 3. М., 19ХУ. С. 95.
  50. Герц Г. Из предыстории радио. М.-Л., 1948. С. 196.
  51. Цитировано по: Клайн М. Математика - поиск истины. М.: Мир, 1988. С. 232.
  52. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963. С. 258.
  53. Захаров В.Д. Метафизика в науках о природе // Вопросы философии. 1999. N 3. С. 106.
  54. Goethes Werke, Band III. Leipzig Kerlag die Literatur Werke Minerva. Без года. S. 84.
  55. Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат? Казань, 1905. С. 34.
  56. Stone M. The Revolution in Mathematicals // The American Mathematical Monthly. 1961. Vol. 68. N 8. P. 716-717.
  57. Гильберт Д. Математические проблемы // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 471.
  58. Цитировано по: Математика в современном мире. М.: Знание. 1969. С.7.
  59. Цит. по: Суровцев В.А. Вестник ТГУ. 1999. N 267 (апрель). С. 23.
  60. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М, 1987. С. 41.
  61. Налимов В.В. Размышления на философские темы // Вопросы философии. 1997. N 10. С. 68.
  62. Ленин В.И. ПСС. Т. 18. С. 326.
  63. См.: Розов М.А. Значение как объект исследования // Вопросы философии. 1998. N 1. С. 93.
  64. См.: Харре Р. Потенцирующие образы и интуиция в физике // Вопросы философии. 2000. N 9. С. 78-92.
  65. Рид К., Гильберт М.: Наука, 1977. С. 236.
  66. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М., 1980.
  67. Дайсон Ф. Математика в физических науках // Математика в современном мире. М., 1967. С. 112.
  68. Кант И. Соч. в 6 т. Т. 6. М.: Мысль, 1966. С. 59.
  69. Шафаревич И.Р. Математическое мышление и природа // Вопросы истории и естествознания. 1996. N 1. С. 82.
  70. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. С. 51.
  71. Цитировано по: Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988. С. 167.
  72. См.: Огурцов А.П. Выступление на "круглом столе" журнала: Псевдонаучное знание в современной культуре // Вопросы философии. 2001.N 6. С. 17.
  73. "Со времени греков, - пишет Н. Бурбаки, - говорить "Математика" - значит говорить "Доказательство", в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой хотим мы придать ему здесь". Бурбаки Н. Элементы математики. Теория множеств // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 490.
  74. Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965. С. 209.
  75. Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они существуют? Казань, 1905. С. 1.
  76. Кронекер Л. Понятие о числе. Казань, 1893. С. 85.
  77. Это и дало основание Кронекеру воскликнуть: "Целые числа создал господь бог. Все остальное - математики" ("Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles audere ist Menschenwerk").
  78. Пуанкаре А. Наука и метод. СПб., 1910. С. 101.
  79. Язык предполагает, по Лейбницу, указание списка всех элементарных понятий (алфавит человеческих мыслей), основных отношений между понятиями и правил комбинаций с этими символами.
  80. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 199-200.
  81. Цитировано по: Berka R., Kreiser L. Login-Texte. Kommentire Auswahe zur Geschichte der modernen Logik. Akademie-Verlag. Berlin, 1971. S. 330.
  82. См. подробнее: Бирюков Б.В. Теория смысла Г. Фреге // Применение логики в науке и технике. М., 1960.
  83. Russel B. Logic and Knowledge. L., 1956. P. 38.
  84. См.: Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применение. М.: Мир, 1965. С. 315-389.
  85. Цит. по: Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С. 267.
  86. Вейль Г. О философии математики. М.-Л.: ГТТИ, 1934. С. 90.
  87. Шанин Н.А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Труды математического института им. Стеклова. 1962. N 67. С. 287-288.
  88. Имея в виду отмеченные неувязки, интуиционисты назвали канторову теорию множества любопытным "патологическим казусом", от которого грядущие поколения придут, вероятно, в ужас.
  89. Гейтин А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 22.
  90. Гельмгольц Г. Счет и измерение. Казань, 1898. С. 6.
  91. Вейль Г. О философии математики. М.-Л.: ГТТИ, 1934. С. 39.
  92. Следует заметить, что интуиционистские теории так же могут быть изложены аксиоматически (и это сильнейший аргумент в пользу интуиционизма), здесь используются другие методы.
  93. Подробнее см.: Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Философские вопросы современной формальной логики. М.: Изд-во АН СССР, 1962. С. 263-285.
  94. Вейль Г. О философии математики. М.Л., 1934. С. 52.
  95. Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 17.
  96. Heyting A. Die formalen Regeen der intuitionistischen Logik // Berka K., Kreiser L. Logik-Texte. Akademie-Verlag. Berlin, 1971. S. 173.
  97. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С. 383.
  98. Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934. С. 26.
  99. Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая логика и ее применение. М.: Мир, 1965. С. 225.
  100. Цит по: Рид К. Давид Гильберт . М.: Наука, 1977. С. 202.
  101. Марков А.А. О конструктивной математике // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. 17. С. 11.
  102. Гильберт Д. Основания геометрии. С. 382. Вообще Гильберт удивлен, что "в среде математиков может иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека" (намек на бурную деятельность Брауэра).
  103. Марков А.А. О логике конструктивной математики. М.: Знание, 1972. С. 45.
  104. См.: там же. С. 4.
  105. См.: Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. С. 188.
  106. Вспоминается эпизод. Бухарест, 1971 г. Идет работа IV Международного Конгресса по логике, методологии и философии науки. Председатель объявил: "Слово предоставляется профессору Матиясевичу". На кафедру вышел высокий юноша в белой рубашке с короткими рукавами, похожий скорее на студента или даже старшеклассника. По залу прошел гул недоумения, и председательствующий счел нужным пояснить, что профессор матиясевич, хотя и молодой, но очень талантливый ученый. Заметим, что свой выдающийся результат он получила в возрасте 22 лет.
  107. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С. 351.
  108. Как заметил профессор Кенигсбергер, "математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе". Цит. по Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л., 1937. С. 149.
  109. Г. Вейль вспоминает: На одном математическом заседании в 1891 г. при обсуждении доклада Г. Викера Гильберт бросил реплику: "Надо, чтобы такие слова, как "точка", "прямая", "плоскость", во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами стол, стул, пивная кружка". См.: Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. С. 237..
  110. . См.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 388.
  111. Е.Д. Смирнова считает, что в основе подхода Гильберта - не доказательство непротиворечивости само по себе, а оправдание вводимых в математическое построение идеализаций. Принимая исходными данные созерцанию объекта, Гильберт не настаивает на необходимости интерпретации каждого математического утверждения в терминах этих объектов, то есть полагает нужным сохранение идеальных (не имеющих реального коррелята и вообще не могущих быть построенными) объектов. Вместе с тем идеальные элементы принимаются так, что "все то, что можно сделать с их помощью, можно сделать и без них", то есть вводятся ради простоты, удобства, единообразия применяемых методов. Следовательно, при допущениях, принимаемых Гильбертом, "доказательство непротиворечивости эквивалентно доказательству устранимости". Смирнова Е.Д. Непротиворечивость и элиминируемость в теории доказательств // Философия в современном мире. Философия и логика. М: Наука, 1974. С. 84-101.
  112. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 56.
  113. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 366.
  114. С помощью теории доказательства "я хотел бы, - писал Гильберт, - окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми..." Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 365.
  115. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ, 1947. С. 66.
  116. Г. Вейль по этому поводу в шутку заметил: "Бог существует, поскольку математика несомненно непротиворечива. Но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем.
  117. Подробнее см.: Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981. С. 237-238.
  118. Не случайно, что в надгробии могилы Гильберта высечено: "

Wir mussen wissen.

Wir werden wissen."

("Мы должны знать. Мы будем знать.")

- Слова, остававшиеся девизом его жизни.

  1. В частности, по поводу принципов атомизма кто-то из физиков заметил: "Если бы вся научная информация погибла, то, располагая лишь единственной гипотезой об атомистическом строении вещества, можно было восстановить всю науку".

  2. См.: Овчинников Н.Ф. Знание - болевой нерв философской мысли // Вопросы философии. 2001. N 2. С. 124-151. Цит. там же. С. 145.
  3. См. Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. N 6. С. 92-109.
  4. Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. N 6. С. 94.
  5. Reichenbach H. Elements of Symbolic Logic. N.-Y., 1947. P. 3.
  6. Впрочем, обогащение было взаимным: логика стала более математической, а математика - более логической (Рассел). Френкель и Бар-Хиллел писали: "Резко разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать) по меньшей мере бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается". Френкель А., Бар-Хиллел И. Основвания математики. М.: Мир, 1966. С. 64.
  7. Гудстейн Р.Л. Математическая логика. М.: ИЛ, 1961. С. 11.
  8. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. С. 7.
  9. Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. С. 8.
  10. См.: Ивс Г., Ньюсом К.В. О математической логике и философии математики. М.: Знание, 1968. С. 41.
  11. Пуанкаре А. Математика и логика // Новые идеи в математике. N 10. Пг., 1915. С. 4.
  12. Вейль Г. О философии математики. С. 26.
  13. Поясняя идею, Гильберт проводит аналогию между математикой и теорией шахматной игры. В рамках последней действуют лишь правила. Но фигуры и их положения не требуют интерпретации (хотя ее можно дать: пешки - солдаты, поля - географические районы и т.д.). Однако вне игры фигуры и положения ничего не значат. Говоря о правилах игры, мы и присоединяем некие, путь элементарные, но содержательные рассуждения, составляющие область "метатеории". Аналогично в рамках самой математики, ее синтаксиса, знаки лишены смысла и подчинены правилам оперирования. Рассуждения о правилах и знаках есть метанаука.
  14. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 183.
  15. Гейтинг А. 30 лет спустя // Математическая логика и ее применения. М., 1965. С. 224-225.
  16. Буурбаки Н. Очерки по истории математтики. М. : ИЛ, 1963. С. 259.
  17. Лакатос И. Доказательство и опровержение. М.: Наука, 1967. С. 80.
  18. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. С. 19.
  19. Александров А.Д., Лаврентьев М.А. Математика, ее содержание, методы. М., 1956. С. 7.
  20. Цитировано по: Вопросы философии. 1969. N 2. С. 161.
  21. См. Метлов В.И. Диалектика оснований и развития научного знания Вопросы философии. 1976. N 1. С. 117-128.
  22. Метлов В.И. Диалектика оснований и развития научного знания // Вопросы философии. 1976. N 1. С. 125.
  23. Метлов В.И. Диалектика оснований и развития научного знания // Вопросы философии. 1976. N 1. C/ 126
  24. Карри Х. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. С. 38-39.
  25. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 323.
  26. См.: Huber L. Eidos und Existenz, Umrisse einer Philosophie der Gegenwдrtigkeit. Schwabe&Co AG. Verlag; Basel, 1995.
  27. См.: Tarsky A. Der Wahrheits Regriff in der formalistischen Sprachen // Berka K. Kreiser L. Logik-Texte. Kommentierte. Auswahle Zur Geschichte der modernen Logic. Akademie- Verlag. Berlin, 1971. S. 445-559.
  28. См.: Хайдеггер М. Время и бытие. М., 1993. С. 299-300.
  29. См.: Тарский А. Истина и доказательство // Вопросы философии. 1972. N 8. С. 136-145.
  30. См.: Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М.: Мир, 1974. С. 386.
  31. Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира - птолемеевой и коперниковой. М.-Л., 1948. С. 92.
  32. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1983. С. 667.
  33. Рассел Б. История западной философии. М.: ИЛ, 1959. С. 56.
  34. См.: Дерюгин С.В., Наумов А.Н. Основной вопрос философии. Вариант решения // Философские науки. 1991. N 1.
  35. Раушенбах Б.В. О логике триединства // Вопросы философии. 1990. N 11. С. 91-102.
  36. Есенин-Вольпин А.Е. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении // Вопросы философии. 1996. N 8. С. 100.
  37. Эйнштейн А. Мотивы научного исследования // А. Эйнштейн. Собрание научных трудов в 4-х т. Т. 4. М.: Наука, 1967. С. 40.
  38. См.: Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1959. С. 14.
  39. См.: Генцет Г. Непротиворечивость чистой теории чисел // Математическая теория логического вывода. М, 1967. С. 99-100.
  40. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. С. 24.
  41. Арлычев А.Н. Априоризм Канта и методология физики //Вопросы философии. 2001. N 11. С. 170.
  42. Конечно, с этим согласятся не все математики. Интуиционистов и конструктивистов, например, вполне удовлетворяет и самоочевидность, интуитивная ясность исходных образований.
  43. Гильберт Д. Математические проблемы. Речь на Международном математическом Конгрессе // Жизнь науки. М.: Наука, 1973. С. 471.
  44. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.-Л., 1933. С. 44.
  45. Фейнберг Е.Л. Эволюция методологии в XX веке // Вопросы философии. 1995. N 7. С. 41.
  46. В отечественной литературе вопрос рассматривается в монографии: Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. С. 146-157.
  47. Эйнштейн А. Физика и реальность. М, 1965. С. 59.
  48. Толстой Л.Н. ПСС в 90-е гг. М.-Л. 1928-1958. Т. 45. С. 297-298.
  49. Фейнман Р. Характер физических законов. М., 1968. С. 189.
  50. Ньютон И.. Математические начала натуральной философии. Кн. 3. Пг., 1916. С. 449.
  51. Мопертюи П. Согласование законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми // Вариационные принципы механики. М., 1959. С. 25.
  52. Блок А. Возмездие // Собр. соч. в 8 т. Т. 3. М.-Л., 1960. С. 301.
  53. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С. 37.
  54. Кто из богов придумал этот знак?

Какое исцеленье от уныний

Дает мне сочетание этих линий.

Расходится томивший душу мрак.

См.: Goethes Werke. Leipzig Verlag der Literaturwerke. Minerva. Б/г. Dritter Band. S. 23.

  1. Кант И. Логика. Пг., 1915. С. 29-30.
  2. Харди Т. Исповедь математика // Математики о математике. М.: Знание, 1967. С. 12.
  3. Исследования по истории физики и механики. М., 1988. С. 98.
  4. Дирак П. Электроны и вакуум. М., 1937. С. 4-5.