2. Критерий выводимости и понятие корректности

Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собою область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый "внутренний" язык математики, язык исчислений, синтаксис. Наряду с тем, математике приходится рассуждать и о "внешних" проблемах - отношение ее объектов и операций к объективной реальности, то есть о проблемах, относящихся к семантике математических знаков и выдающих философский интерес, разрешаемый уже на "внешнем" языке (об этом шла речь в гл. IV, 2). Сейчас нас занимает внутриматематический срез языка.

Перевод вопроса об истине в формально-логический план погружает математику в самое себя и ориентирует на подход к истине как соотношении знания к знанию же, как соответствию компонентов последнего в значении когерентности.

Для математики характерно дедуктивное построение (от лат. deductio - выведение). Основное правило дедукции таково. Если посылки верны и имеют определенную структуру, то и вывод, имеющий определенную структуру, будет также верен, то есть истинен. При этом вывод должен быть, естественно, получен при соблюдении в операциях вывода правил логики.

Благодаря этому дедуктивно выстроенные теории оказываются обращенными на самих себя, соответственно подобная теория определяется как совокупность высказываний, замкнутых относительно выводимости. Поскольку теперь проблема истины переведена из факта соответствия знания объекту во вне в тезис внутреннего соответствия, то вступает в силу принцип разрешимости. Разрешимость понимается как процедура доказательства относительно любого высказывания, истинно оно или ложно в данном формализованном языке, то есть соответствует ли оно структуре языка, в границах которого это высказывание формулируется. Истинные формулы должны быть выводимы в принятом языке, но они могут оказаться ложными, невыводимыми в другом языке.

В соответствии с правилом дедукции из верных посылок следует и верный вывод. А если посылки (хотя бы одна) не верны? В этом случае и вывод будет неверен, несмотря на то, что и посылки и вывод имеют определенную, отвечающую заданным параметрам языка структуру, и при том процедура вывода была осуществлена по правилам. То есть получается так, что рассуждение проведено логически правильно, выбор посылок соответствует структуре языка, равно как и вывод структурно ему соответствует, а сам вывод неверен. Иначе сказать, логически правильные действия приводят к ложному результату.

В качестве примера, иллюстрирующего ситуацию, сошлемся на онтологическое доказательство бытия божия, предъявленное в свое время еще схоластами. Был использован силлогизм, выполненный по модели первой фигуры - Barbara:

Бог - существо совершенное.

Все совершенное обладает объективным существованием.

Следовательно, Бог обладает объективным существованием.

Здесь формально все сделано правильно, но вывод с точки зрения атеиста ложен.

Имея в виду подобные ситуации, Р. Декарт вводит понятие корректности. Во избежание ошибок вывод должен быть не только логически правилен, но и получен из истинных (а не любых) посылок. Тем самым математическая строгость обретает, как подчеркивает Декарт, обоснование: она нужна не сама по себе, а в качестве инструмент, работающего на материале истинного знания. Как пишет Г. Штейнгауз, строгость - это нечто вроде асептики при хирургических операциях. Она необходима, но цель хирургического вмешательства определяется иными соображениями, а забота об асептике поручается вспомогательному персоналу¹⁴⁸.

Что касается онтологического доказательства бытия божьего, тот критерий корректности в нем нарушен в первой посылке "Бог - существо совершенное". Ошибка в том, что посылка представляет собой вид так называемого квазионтологического высказывания. Подобные высказывания характеризуются тем, что включают неверифицируемую компоненту. "Бог". Вводя в качестве посылки суждение "Бог - существо совершенное", мы смещаем акцент на предикацию: "Бог совершенен", уходя от проблемы объективности его существования, которое как бы разумеется само собой. Аналогично в высказывании "Капон - не философ" вопрос о существовании Капона обходится стороной; мы не задаемся тем, существует ли Капон или не существует, нас интересует лишь мнение, философ он или не философ. Может быть, Капона и вовсе нет, а мы рассуждаем о его профессии так, словно это реальный человек.

Математические теории, поскольку они создаются на основе принципов дедуктивных построений, оперируют истинами, отвечающими критерию выводимости, формируемому на базе основного правила дедукции. Поэтому речь может идти здесь лишь о допустимости принятия тех или иных высказываний, но не о том, истинны ли они в гносеологическом отношении, то есть соответствуют ли неким объективным ситуациям. У. Сойер в книге "Прелюдия к математике" проводит такую оправдательную аналогию действиям математика. Судья, освобождающий от наказания преступника за недостаточностью улик, прав логически, но не фактически. И если даже позднее такие улики обнаружатся, судью нельзя будет упрекнуть, ибо вина подозреваемого не была доказана. И хотя отсутствие свидетельств еще не есть свидетельство отсутствия, но в момент решения вопроса такое отсутствие налицо. Сойер делает вывод, что судья в данном случае поступает как математик, правильно решающий задачу на базе принятых посылок.

Хорошей иллюстрацией рассматриваемой особенности математики может послужить эпизод, имевший место в середине восьмидесятых годов во время вступительных экзаменов на механико-математическом факультет Томского университета. Девушка перепутала в письменном задании условия задачи, вместо знака "минус" некоторой величины записала "плюс". Естественно, ответ не сходился с требуемым значением, и экзаменаторы поставили на ее экзаменационной работе оценку "неудовлетворительно". Однако сам ход решения был логически правилен, все математические операции исполнены безупречно. Девушка подала на апелляцию. Вопрос рассматривался на заседании приемной комиссии при ректорате, и деканы, члены комиссии, пришли к выводу, что оценка должна быть изменена на положительную, предложив поставить экзаменующейся "хорошо", то есть рассудили проблему с позиции логической правильности действий на основе принятых ею посылок. Таким образом, если экзаменаторы механико-математического факультета подошли к ситуации с точки зрения корректности правильно, но зато они проявили логическую "близорукость", не оценив правильность математического хода рассуждений абитуриентки. Приемная комиссия, как видим, учла специфику математического мышления, которое абстрагируется от внешней среды, замыкаясь на операциях внутри языка системы.

Надо сказать, что проблема отношений между корректностью и формальной правильностью выходит за границы математической деятельности. Мы уже ссылались на практику судопроизводства, подмеченную У. Сойером. Сошлемся еще на один факт из этой области.

В "Литературной газете " середины семидесятых годов прошлого века был описан случай, когда суд вынужден был признать не виновными двух охотников, один из которых случайно убил человека, приняв его за медведя. Установить, кто именно совершил преступление, оказалось невозможным, так как в теле убитого обнаружили только одну пулю, но пули охотников были одинаковыми, стреляли оба, причем с одинакового расстояния и под одним углом. Убийцей мог быть каждый, однако обоих осудить нельзя, так как пострадает невиновный, а это - с точки зрения правосудия - несправедливо, ибо пусть лучше останется на свободе виновный, чем будет наказан невиновный.