3. Причина неудач

Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги "Основания теории множеств" А. Френкель и И. Бар-Хиллел, "с бесконечными предостережениями и скрупулезностью, применяя причудливый геометрический символизм, определял один арифметический символ за другим и, оперируя по ходу дела этими терминами, доказывал основные арифметические теоремы, связывающие эти термины"⁸⁰. Программа сведения математики к логике представлялась завершенной, страсти вокруг улеглись, борения закончились.

И всем казалось, что радость будет,

Что в тихой гавани все корабли.

Но вдруг... Молодой английский математик и логик Б. Рассел в самом начале прошлого столетия в письме к Фреге обращает внимание на некорректность использования им понятия теории множеств, лежащей в фундаменте арифметики, а следовательно, всей математики: Дело касалось понятия "класс всех классов". Ситуация получила "Парадокс Рассела". Вообще парадокс проявился в трех аспектах - как собственно математический, логический и лингвистический.

В математике является признанным тезис о несуществовании наибольшего кардинального числа, то есть самого мощного множества, ибо какое бы наиболее мощное множество мы ни взяли, всегда можно построить еще более мощное. Например, для множества чисел натурального ряда и тождественных ему так называемых счетных множеств (таких, что элементы множества можно расположить в последовательность). Для них более мощным является континуум, то есть множество точек на отрезке прямой (непрерывность), а относительно континуума более мощным выступает множество функций. Вообще, поскольку всегда можно образовать множество всех подмножеств данного множества и, включив его в исходное множество, получим совокупность, мощность которого будет на единицу выше мощности данного множества. Таким образом, существуют все большие трансфинитные множества, потому, звучит доказанная Г. Кантором теорема, нельзя построить самое мощное множество.

Однако, с другой стороны, интуитивно ясно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, так как оно представляет совокупность всех мыслимых множеств, являясь сверхмощным. Как заметил Рассел, если взять все, то не останется ничего и, следовательно ничего уже нельзя добавить. Кстати, и сам Кантор, несмотря на доказанное им, пришел к выводу, что должно же существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел.

Мы рассмотрели математическое содержание парадокса, выражением противоречия в котором стала логическая антиномия, о чем и заявил Рассел.

Согласно теории множеств Кантора, множество или класс есть совокупность предметов, мыслимых как нечто единое. Затем вводится понятие "принадлежать", то есть "быть элементом множества". Поскольку само множество - тоже объект (как и его элементы), возникает вопрос, принадлежит ли множество самому себе.

Есть два вида классов: содержащие себя в качестве собственного элемента и не содержащие. К первым относятся, например, понятия "Список", "Каталог", "Классификация" и т.п. ("список списков" - также список). Подобные понятия составляют меньшинство, поэтому их называют нестандартными. Обычно же классы не содержат себя в качестве элемента своего класса, не входят в объем собственного множества (стандартные классы). Скажем, элементами множества "студент" являются конкретные студенты, но само-то множество студентом не является, ибо не имеет ни возраста, ни национальности или факультетской принадлежности. Нет студента как такового.

Логически парадокс обнаруживается в том, что неизвестно, куда поместить стандартное множество. В классе, который является собственным элементом, ему не место, поскольку он не входит в свой класс. Но его нельзя включить и в класс, который собственным элементом не является, поскольку он представляет стандартный класс и не должен находиться среди собственных элементов. Формально-логически это выглядит так. Пусть R - семейство тех и только тех множеств X, которые не являются своими элементами и потому удовлетворяют условию X X. Таким образом, имеет место эквивалентность X RXX. А теперь проверим R. Подставляя вместо переменной X символ R, получим R RR R, то есть имеем явное противоречие.

Рассел иллюстрирует этот парадокс примером, который он назвал "парадокс парикмахера". Допустим, в некой деревушке, где имеется лишь единственный парикмахер - мужчина, мэр издал указ: "у парикмахера имеют право бриться те и только те, кто не бреется сам". Спрашивается, может ли парикмахер брить себя? С одной стороны, он не имеет права этого делать, поскольку бреет только других. Но, если он не будет брить себя, то попадет в число тех, кто себя не бреет и, следовательно, согласно букве указа, получает право на то, чтобы брить сам себя. Имеется и вторая версия этого парадокса. Парикмахер объявил, что бреет всех, кто не бреется сам. При этом он похвалялся, что в парикмахерском деле ему нет равных, но однажды задумался, а должен ли он брить сам себя.

Обнаружив парадокс, Рассел решил, что Кантор доказывая теорему о несуществовании самого мощного множества, допустил тонкую логическую ошибку. Рассел надеялся преодолеть ее, однако не смог и через 16 лет извинился за то, что не сумел выполнить обещание.

Пытаясь понять причину парадоксов, чтобы в дальнейшем избегать их, Б. Рассел и английский математик А. Уайтхед в совместной книге "Principia mathematica" (1910-1913), пишут: "Анализ парадоксов показывает, что все они имеют источником порочный круг. Этот порочный круг возникает из принятия того, что множество предметов способно содержать элемент, который может быть определен только посредство множества как целого"⁸¹. Здесь мы переходим к лингвистическому аспекту парадокса, то есть к проблеме несовершенства самого языка математики, чем и отличается ее третий кризис.

В науке, в том числе и в математике, часто приходится использовать так называемые непредикативные определения, чем и обусловлено появление порочного круга. Их суть такова.

Непредикативное описание такое, в котором определяемый предмет вводится через множество, к которому данный предмет принадлежит в качестве элемента. Здесь и заключена возможность ошибки, поскольку то, что определяется, принимает участие в определении. Получается логический круг. Отметим, что не все непредикативные определения ошибочны. Многие из непредикативных описаний вполне приемлемы, в том числе и в математике. Например, двойка есть такое число, что, будучи сложено само с собой, дает свой точный квадрат - (2+2=2²). Однако есть ряд некорректных непредикативных определений, которые ведут к парадоксам. Мы и наблюдаем это в случае определения множества, которое не принадлежит самому себе. Тогда мы сталкиваемся со свойством предикабильности.

Понятия различаются как предикабильные и непредикабильные. Предикабильные - такие, которые фиксируют свойство, относящееся к самому себе. Например, понятия "русский" - русское, "абстрактный" - абстрактно, "двузначный" - двузначно. Другие же понятия, и их большинство, - непредикабильны. Понятие "зеленый" не является зеленым, понятие "человек" не есть человек.

Поставим вопрос. Куда отнести само понятие "непредикабильный"? Возникает парадокс. В классе предикабильных оно непредикабильно, а в классе непредикабильных оно предикабильно, ибо здесь оно распространяется на самого себя. Оно непредикабильно да находится в классе непредикабильных, значит, оно здесь предикабильно. Но как же оно стало предикабильным, если, по определению, не относится к самому себе.

Парадоксы теории множеств заставили обратить внимание на самые глубинные проблемы математики, на ее основы, затронули математический язык. Опыт же исканий логицистов показал, что хотя попытка оправдания математики логикой в некоторых моментах имеет право на применение, но по своим основаниям является недостаточной и вынуждена выходить за пределы собственно логики, апеллируя к философии и беря ее в союзники. Фактически, сводя математику к логике, логицисты лишь отодвинули проблему. Теперь она состояла в обосновании возможности существования уже не математических, а логических объектов. То есть в их философском обосновании, к рассмотрению чего мы и переходим.