2. Программа логицизма

Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) Математика - часть логики; 2) Логика - часть математики; 3) Математика и логика имеют некую общую пранауку, из которой они произошли; 4) Математика и логика - совершенно разные дисциплины, не имеющие общих корней.

Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в. в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в. Б. Расселом.

В основе логицизма лежит убеждение, что математика - своего рода надстройка к фундаменту, заложенному логикой и что математические объекты покоятся на логических основаниях. Иначе говоря, логицизм вообще полагает математику лишь частью, отраслью логики.

Исходят из того, что математическое доказательство широко использует методы логики, построено на базе логических операций. Американский логик Ч. Пирс, например, характеризовал математику как науку о производстве необходимых умозаключений, а философ Э. Гуссерль подробно исследовал определение математики как логики. Аксиоматический метод (гордость математики, то, что отличает ее сейчас от других наук) своим происхождением также обязан логике, выступающей инструментом извлечения следствий из принимаемых постулатов. Далее, и математике и логике обща точность, являющаяся следствием доказательности выдвигаемых положений. Доказательность же шлифовалась в риторике, которая была предметом особых забот логиков, разрабатывавших ее как умение убеждать, обосновывать⁷³.

Далее, логицизм питается тем, что математики традиционно вводят объекты, опираясь на логический тезис непротиворечивости. Существование математического объекта правомерно, если он мыслим непротиворечивым образом. При этом используется метод доказательства, выступающий острейшим орудием логики. Одним словом, логика является предпосылкой математики, поскольку последняя широко использует дедуктивные рассуждения.

Однако, сказанное фиксирует, как отмечает А. Черч, лишь слабый смысл приоритета логики над математикой. Сильный же, по Черчу, состоит в том, что они "соотносятся между собой не как два различных предмета, а как более ранняя и более поздняя части одного и того же предмета, а именно таким образом, что математика может быть полностью получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений"⁷⁴. Или, как говорил в связи с этим Б. Рассел, "логика - юность математики, а математика - зрелость логики".

Эти идеи идут не от одних лишь логиков. Они разделяются так же и некоторыми математиками. Так, Р. Дедекинд, например, писал: "Я называю здесь арифметику (алгебру, анализ) только частью логики: этими словами я хочу сказать, что понятие о числе я считаю совершенно независимым от представлений и воззрений на пространство и время: для меня оно чистый продукт законов нашей мысли"⁷⁵.

Будучи лишь частью логики, математика, по мнению логицистов, не должна заимствовать ни у созерцания, ни у опыта никакого обоснования. Все специальные математические термины могут быть представлены кратким перечнем основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики. Доказательство же математических теорем не требует иных аксиом, кроме логических, и правил вывода, помимо тех, что использует логика.

Концепция логицизма покоится на идее редукции, сводимости математики к логике. Но что значит редуцировать математику к логике? В конечном счете это предполагает представить математические понятия, объекты и операции как логические, а аксиомы математики - как теоремы логики. Однако встает вопрос, как именно мы будем математические объекты и действия над ними переводить в логические объекты и действия? Значит ли это, что каждый объект и каждую операцию надо выражать в терминах логики? Очевидно, нет. Надо выделить основные понятия и операции и интерпретировать их логически, то есть осуществить аксиоматическое построение математики. Но теперь возникает другая проблема. В математике немало разделов, дисциплин. Следует ли каждую из них аксиоматизировать и далее работать над ними? Естественно стремление выделить в математике такую отрасль, в терминах которой можно было бы выразить все остальные разделы математики. Это арифметика.

Так в конце нашего рассуждения мы пришли к началу процесса и видим, что для реализации конечной цели логицизма необходимо осуществить три последовательные операции: арифметизировать математику, аксиоматизировать арифметику и осуществить логическую интерпретацию аксиоматизированной арифметики. Очерченная программа реализуется по двум направлениям: создание подходящего логического аппарата и подготовка содержания математики к его применению. Необходимо отметить также ,что в выполнении программы были "повинны" не одни лишь логики, но и математики (притом, не только разделяющие убеждения логицистов).

Этап арифметизации задачи. По существу он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в жизнь эту идею итальянский математик Д. Пеано, по-видимому, уже сознавал, что она служит утверждению концепции логицизма.

Итак, 1-й шаг на пути к логическому представлению исходных математических понятий и операций - арифметизация самой математики.

Но что значит свести высшие разделы математики к простейшим? Архимедов рычаг математики - число. "И я верю, - пишет, например, немецкий математик Л. Кронекер, - что когда-нибудь удастся "арифметизировать" все содержание... математических дисциплин, то есть основать их единственно и исключительно на понятии о числе, взятом в самом тесном смысле..."⁷⁶.

Были предприняты попытки редукции числа к самому элементарному. Вначале (усилиями немецких математиков К. Вейерштрасса и Г. Грасмана) рациональные числа удалось свести к натуральным, то есть представить в виде упорядоченной пары ▀m, n⌡ натуральных чисел, где первый элемент пары соответствует бывшему числителю, второй - знаменателю, например, как ▀3, 4⌡.

Позднее иррациональные числа исследованиями Вейерштрасса, Дедекинда, Кантора и др. были интерпретированы как множества упорядоченных пар рациональных чисел, так как всякое иррациональное число может быть заключено между двумя рациональными числами (значениями по недостатку и по избытку), разность между которыми сколь угодно мала. Например, иррациональное число представимо как последовательные пары рациональных чисел: 1,4 - 1,5; 1,41 - 1,49; 1,399 - 1,419 и т.д.

Хорошей иллюстрацией исчисления иррационального числа может служить известное артиллеристам понятие "взять в вилку". Идет пристрелка. Недолет. Следует команда на коррекцию. Выстрел - перелет. Снова коррекция и так, пока снаряд не попадет в цель с той лишь разницей, что иррациональное точно "поразить" невозможно. И еще образ. Томский профессор математики З. Климентьев уподоблял иррациональное число тому, как два милиционера ведут задержанного: один впереди, другой сзади, и тому деваться некуда...

В итоге любое число стало возможным выражать посредством натурального⁷⁷.

Большую роль в реализации программы арифметизации сыграла теория множеств, методы которой тесно переплетены с методами теории чисел. С другой стороны, ее основное понятие (актуально бесконечного) множества, а также возможность сведения математической проблемы к указанию соответствующего множества (или нескольких множеств) и изучению его свойств, как и решение проблемы на базе этих свойств, - все это вооружило математиков эффективным инструментом анализа.

Характеризуя вклад теории множеств в решение задачи арифметизации, А. Пуанкаре пишет: "Теперь в анализе остались только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств. Математика, как говорят, арифметизировалась"⁷⁸. Ему вторит Д. Гильберт, выдающий восторженные оценки теории множеств и ее автору, это "самый восхитительный цветок" математической мысли, одно из величайших достижений деятельности в системе мышления. "Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор". Запомним эти слова.

Второй этап - аксиоматизация арифметики. Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начинают Дедекинд и Грассман, а завершает Пеано. Выделив три основных понятия - "натуральное число", "следование за..." (одного числа непосредственно за другим), "начальный член натурального ряда" (0 или 1), Пеано связал их пятью аксиомами.

1) 1 есть натуральное число; 2) Следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) Если натуральное число b следует за натуральным числом a и за натуральным числом c, то a и c тождественны. Заметим, несколько забегая вперед, что эта аксиома выступает как проявление более общей, логической аксиомы функциональности aRbcRb > a=c, то есть если предметы a и c одинаково относятся к b, то a и c есть один и тот же предмет. Скажем, если Петр - брат Елены и Сергей - брат Елены, то Петр и Сергей - братья. Типично дедуктивное умозаключение на основе суждений с отношениями. У В. Теккерея описан интересный эпизод.

В дворянском собрании одного из английских графств высокопоставленные особы делились воспоминаниями. Среди присутствующих был местный аббат, который сообщил, что первым, кто у него исповедовался, был убийца. Еще не остыли его слова, как в помещение клуба вошел один знатный господин округи. Поздоровался, огляделся и произнес: "О, аббат, И вы здесь. А вы знаете, господа, я был первым, кто исповедовался у аббата". В собрании нависла, говоря языком драматургии, немая пауза. Кто бы мог подумать, что столь почитаемый коллега - убийца. Но ни он, ни аббат прямо об этом не заявляли. Факт вытекает как следствие логического умозаключения. Формализуем:

a - знатный дворянин,

b - аббат,

c - убийца,

R - исповедоваться первым.

Налицо та же логическая формула функциональности (aRbcRb > a=c), следствием которой рассматриваемая аксиома арифметики, что и может послужить основанием рассматривать последнюю в качестве теоремы, выводимой из аксиомы логики.

Наконец, аксиома 5) Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно и для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Итак, арифметика аксиоматизирована. Следующий шаг программы - определение исходных понятий аксиоматизированной арифметики в терминах логики, а аксиом - как теорем логики.

Понадобился специальный логический аппарат. Он создавался ранее. Первые идеи находим у Р. Декарта (XVII в.), рассматривавшего математику как частный случай исчисления (общего формально-логического метода). Г. Лейбниц (в книге "Искусство комбинаторики") говорит о введении универсального языка науки, функционирующего на основе целесообразно подобранной символики и предназначенного для проведения рассуждений⁷⁹. Не надо будет спорить ни по вопросам науки, ни о политике. Имея такой язык, люди скажут "сядем и будем вычислять". Затем Лейбниц развивает идеи, близкие понятиям символической логики (например, вводит логическое умножение и сложение). В середине XIX в. Д. Буль создает алгебру логики, а де Морган формулирует принципы логики высказываний и логики классов.

Использовать этот аппарат в интересах логицизма и пытается Г. Фреге. Он же формулирует программу логицизма.

Проводится следующая цепь доказательств. Математика покоится на логике (не на эксперименте), ибо ее доказательства - апелляция не к опыту, а к возможности (процедуре) логического выведения одного предложения из других. Что же касается самой логики, то ее утверждения, по мнению логицистов, формальны, они ничего не говорят о мире и представляют аналитические высказывания, тавтологии. Их истинность зависит не от содержания, но лишь от формы, оттого они истинны "во всех возможных мирах".

Таким образом, логику можно изложить в виде исчисления, построив формализованный логический язык. Тогда, поскольку математика - часть логики, выдвигается программа: представив логику как исчисление, вывести из ее аксиом все положения чистой математики и все понятия последней описать посредством логических понятий (для чего и необходимо было выразить ее в минимуме исходных терминов и положений). В результате понятия математики оказываются понятиями логики (1); аксиомы математики - доказуемыми теоремами логики (2); устанавливаются правила вывода (для получения из логических положений предложений математики) (3).

В соответствии с программой, предстояло определить в терминах логики понятие числа и операций над числами. В основе логического подхода к числу лежит идея взаимно-однозначного соответствия. Это позволяет установить равенство двух (и более) множеств по количеству элементов, не прибегая к математической операции их пересчитывания и пользуясь просто методом сопоставления элементов одного множества элементам другого. Если удается установить полное однозначное соответствие, то множества эквивалентны. Так, множество сторон света эквивалентно множеству углов равностороннего прямоугольника, а также эквивалентно множеству букв в слове "вода", множеству конечностей человека. Можно говорить о множестве всех таких эквивалентных между собой множеств, имя которому - четыре.

Отсюда любое число есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Фреге интерпретировал натуральные числа как кардинальные числа некоторых понятий. Кардинальное (то есть не порядковое, а количественное) число (иначе говоря мощность) понятия F определялось как сокращение для объема понятия, равночисленного с понятием F . Например, все понятия с единичным объемом (скажем, столица Франции, автор романа "Жерминаль) подпадают под одно понятие с кардинальным числом 1, то есть его мощность равна мощности класса 1, все понятия с кардинальным числом 2 находятся во взаимно-однозначном соответствии, образуя число 2 и т.д. Таким образом, число есть класс всех возможных его реализаций.

Так же логически определяются арифметические операции: сложение, объединение (дизъюнкция) (a+b) = (aUb), умножение - как отыскание общих элементов (конъюнкция) (a╥b) = (ab). Необходимо отметить только, что в логике эти операции подчинены принципу идемпотентности (сохранения степени), который в математике нарушается. Но о том чуть позднее.