1. Понятие обоснования математики

Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотношении концептуальных математических построений и объективной реальности, которую они должны в конечной инстанции отображать. Это и задает определенный философский смысл проблеме.

В других науках (физике, химии, биологии), которые опираются на эксперимент, наблюдение, существование описываемых ими объектов очевидно, и потому эти науки получают эмпирическое оправдание. Поскольку математика оперирует с особыми "рафинированными" объектами, лишенными свойств в обычном (физическом, химическом и т.п.) смысле, то их прообразы не существуют в реальности так же осязаемо, как в случае остальных наук. Отсюда необходимость обоснования права на их существование.

Более того умозрительны не только сами объекты математики, но и ее методы, поскольку истинность здесь - не в соотносимости высказываний некой эмпирической ситуации, а в их логической выводимости на основе аксиом. Как замечает академик А. Александров, можно тысячи раз измерять сумму углов треугольника и убедиться, что она равна 2d. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь рассматриваемое утверждение из аксиом. Так и ученик, решая задачу определения угла треугольника, не измеряет его транспортиром, а выводит логическим, оперируя соответствующими теоремами. В связи с этим академик (в режиме соблюдения постулата "сохранения серьезности") замечает. Когда аспирант-математик жалуется, что у него нет условий для занятий, ему можно ответить: "Какие условия тебе нужны? Есть бумага и карандаш и есть подоконник. Занимай его и работай".

В силу специфики математической науки ее объекты постулируются, либо, если и доказываются ссылкой на ранее созданные и принятые теории, то в этих последних они также постулируются. Иных оснований и обоснований для введения математических, равно как и для вынесения претендующих на истинность высказываний о них, у нас нет. Все иные основания могли бы быть только экспериментально-наблюдательными, но ссылка на эмпирию здесь бьет мимо цели. Остается принять объекты лишь с помощью постулатов, что и требует философского оправдания их права на существование.

Следует признать, что сама обоснованность обоснования отнюдь не безальтернативна. Задается вопрос, так ли уж эффективно обоснование математики? По мнению Л. Витгенштейна, в обосновании нуждается нечто недостаточно устойчивое, иначе какой резон этим заниматься? Но тогда то, что вовлекается в процедуру обоснования, что служит опорой для него, должно быть на самом деле надежным, стабильным. Однако философия подобными свойствами не обладает. Так может ли она стать обоснованием математики? Никакая философия, резюмирует Витгенштейн, не может помочь математике, ибо она имеет только математические трудности, но не философские. Как полагают некоторые исследователи, математик вообще не нуждается в чьих-либо оправданиях и поддержках, ибо, по выражению Р. Киплинга, математика сама себе расстелила ковры ослепительной славы, так кто или что ей способны еще чего-то добавить!

Здесь есть своя правда. Заметим лишь, что, обращаясь к философским обоснованиям, не имею в виду оправдать математику с помощью какой-либо конкретной философской доктрины, что определенно сомнительно (хотя не исключено и это). Главная цель подобных намерений в том, чтобы понять, каково отношение математической теории в качестве чисто умозрительной структуры к реальности, что стоит за математическим объектом (и стоит ли вообще что-то) и чему он обязан своим появлением. По существу это попытки (и прежде всего самих математиков) выйти за грани собственной науки, соотнести ее содержание с чем-то внешним, предлежащим ему - с действительным миром, с другими продуктами человеческой мысли. Но подобные проблемы и называются философскими. Поэтому к ним едва ли применимы такие квалификации, как нечто неустойчивое, зыбкое. Они столь же неустойчивы, сколь устойчивы.

Проблема обоснования вызревала исторически, имеет глубокие корни. Вехами на пути становления проблемы были кризисы в основаниях математики, которые и возвели постановку этой темы в ранг актуальных. Выделяют три кризиса.

Первый из них поразил уже античную математику (V в. до н.э.). Речь о несоизмеримости отрезков. Две величины или длины считаются соизмеримыми, если, если обладают общей мерой, то есть величиной или длиной, которая укладывается на них целое число раз. Считалось, что все отрезки соизмеримы и вдруг обнаружились странности. Оказалось, что некоторые длины несоизмеримы. Например, сторона и диагональ квадрата, катет и гипотенуза прямоугольного треугольника, также несоизмеримы длина окружности ее диаметр, площади круга и квадрата, построенного на радиусе этого круга и др.

Возьмем соотношение стороны и диагонали квадрата. Каждый из этих отрезков может быть точно вымерен в единицах длины - метрах, сантиметрах и т.д. Но становится невозможным измерить их один посредством другого, то есть взяв за единицу измерения меньший отрезок. Так сторона квадрата не укладывается целое число раз на его диагонали. Непременно образуется остаток. Но, может быть, можно взять за единицу этот остаток и измерить диагональ им? Оказалось, что и этот новый отрезок столь же непоместим ровным счетом , как и прежний. И так до бесконечности.

Таким образом, наряду с целыми и дробными числами появляется новое число. В общем случае гипотенузу можно выразить посредством катета через ранее неизвестную величину  wpe19.jpg (1152 bytes).

Это c назвали иррациональным числом, то есть выходящим за грань разумного, рационального (каковым остались целые и дробные величины).

Второй кризис оснований математики развернулся на рубеже XVII-XVIII вв. по причине вычисления бесконечно малых. По определению, бесконечно малые - это величины, стремящиеся к пределу, равному нулю, но никогда его не достигающему. Это их противоречивое свойство порождало двусмысленность: одни математики считали бесконечно малые нулями и отбрасывали их при вычислениях, другие считали, что все же они отличны от нуля хотя и на величину бесконечно малую. Перед лицом подобной раздвоенности известный английский философ того времени Д. Беркли обвинил современную ему математику во всех грехах, поставив под сомнение ее научность.

Многие в течение долгих лет считали Беркли на этом основании ретроградом, воюющим против нового. Конечно, подобные выступления не красили философа, но не стоило ему приписывать квалификации темного человека, не сведущего в математике. А. Огурцов справедливо замечает в связи с этим следующее. Полемика Д. Беркли по поводу дифференциального исчисления Ньютона была не полемика обскуранта с новыми открытиями в математике, а защита идеалов античной математики в эпоху, когда их начали сменять новые идеалы72. Иными словами, Беркли лишь философски прочертил кризисную ситуацию, поразившую математическую науку.

Выход из кризиса был найден выдающимся французским математиком начала XIX столетия Огюстом Коши, ставшим в 1831 г. иностранным почетным членом Петербургской Академии наук. Подобно тому, как в результате первого кризиса в математику влились новые, иррациональные, числа, второй кризис оснований также принес новые числа. Разрабатывая теорию пределов, Коши обозначил бесконечно малые как величины, существующие в их исчезновении, то есть взятые не до их превращения в нуль (тогда они были бы конечными, обычными числами), но и не после их превращения в нуль (тогда они исчезают, и о них ничего сказать нельзя). Бесконечно малые берутся именно в процессе их исчезновения, представляя по существу бесконечно умаляющее. И это было неслыханное заявление, внесшее решительный поворот в развитие математики. Позднее петербургский математик и физик Л. Эйлер провел своего рода классификацию бесконечно малых, окончательно утвердив этим их математический статус.

Едва улеглись страсти после второго кризиса оснований, как в конце XIX столетия назрел третий - самый глубокий и продолжительный, который волнует математику, логику и философию еще и поныне. Дело в том, что если первый и второй кризисы касались собственных проблем математики, выяснения характера ее объектов и принципов их построения, то третий кризис поставил вопрос о точности математики, безупречности ее основных понятий. И это затрагивает уже фундамент математики, по-настоящему выводя проблему на уровень философского осмысления темы, поскольку речь идет о статусе математической науки, правомерности построения ее объектов, возможности их существования и критериях истинности утверждений о них. В предыдущих кризисах подобные вопросы, конечно, тоже возникали, но лишь в частных, не глобальных проявлениях.

По выводу математики из третьего кризиса сложились три направления - логицизм, интуиционизм с его конструктивной ветвью и школа формалистов. Расцвет деятельности всех трех течений падает на период конца XIX - начала XX столетий с выходом конструктивизма в более позднее время. Кроме того, отдельной строкой идет речь о современных попытках обоснования, нашедших выражение в теоретико-множественном и категориальном подходах.