3. Математическая методология

Место математики в системе наук определяется также тем, что она играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, гуманитарного цикла. Как заметил еще Р. Декарт, математика вместе с тем, что она язык науки, является также способом мышления, инструментом доказательства. Таким образом, выполняет функцию общенаучного метода, принимая на себя, можно сказать, обязанности философской методологии.

Обладая способностью представлять любую информацию в виде количественных характеристик, математика вырабатывает и особые, отличные от естествознания приемы исследования - математический эксперимент, математическая гипотеза, математическое моделирование. Их специфика состоит в том, ч о вместо операций с веществом и энергией они добывают результат путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, интерпретируя затем полученные числовые выражения в терминах содержательного значения.

Вообще выделяют три вида эксперимента (от лат. experimentum - проба, опыт): натурный, мысленный и математический.

Натурный эксперимент представляет манипуляцию с вещами и энергиями. Он осуществляется в контролируемых и управляемых условиях, обычно специально созданных. Мысленный эксперимент - это также деятельность с материальными предметами и процессами, но взятыми не в натуре, а на уровне образного прочтения физической ситуации и в значительной мере, как считает Р. Харре, опираясь на интуицию⁶⁴. Так, Г. Галилей, рассуждая о возможности физических изменений систем, движущихся относительно других систем, провел мысленный эксперимент. "Наполнив" каюту корабля бабочками, мухами и т.п., стал "наблюдать" их поведение с целью определить разницу в состояниях, когда корабль плывет и когда он находится в покое.

Математический эксперимент, имея дело не с самими предметами и процессами природы, а с их количественными описаниями, позволяет избежать материальных затрат на сооружение установок и лабораторий, ибо, как заметил отечественный геометр А. Яглом, единственной лабораторией математика является его интеллект. Характерен эпизод. Как-то А. Эйнштейн с супругой знакомился со знаменитой американской обсерваторией Маунт Вильсон. Им показали гигантский телескоп. Фрау Эльза поинтересовалась, зачем нужны столь масштабные инструменты. Директор обсерватории, сдерживая улыбку перед подобной наивностью, прояснил, что это необходимо, чтобы исследовать глубины вселенной. "Странно, - отозвалась фрау, - а мой муж делает это на обороте старого почтового конверта..."

Аналогичным образом работает и математическая гипотеза, задавая физическую ситуацию на языке числовых параметров и оперируя затем последними. Так, вместо обычной используется своего рода "вычислительная" гипотеза, полученная на основе математических расчетов, благодаря чему имеем доступ к недоступным объектам. Эффективность математической гипотезы обусловлена возможностью на основе математического формализма находить по аналогии результат до выяснения его физического содержания.

В этом отношении примечательна история квантовой механики. Руководитель теоретического семинара нидерландский физик, работавший в Германии, П. Дебай попросил Э. Шредингера прореферировать статью Л. де Бройля "О волнах материи". При подготовке реферата Шредингер взял уравнение классической физики и, руководствуясь идеей де Бройля о том, что любой материальной частице соответствует некоторый волновой процесс, обобщил ситуацию, перенеся уравнение классической физики в новую область. Так появилось знаменитое волновое уравнение квантовой механики, ставшее вторым ее вариантом после матричного, возникшего несколько ранее. Кстати заметить, что Д. Гильберт, оценивая успех Шредингера, обратил внимание на то, что оказался невостребованным прием математической гипотезы, на возможность использования которого в свое время Гильберт указывал.

Дело обстояло так. Еще ранее В. Гейзенберг и М. Борн, создавая квантовую механику, испытали математические затруднения и обратились за консультацией к патриарху математической Мекки в Геттингене Гильберту. Удовлетворив просьбу физиков, он вместе с тем им сказал, что всякий раз, когда ему приходилось иметь дело с матрицами, они возникали в качестве побочного продукта собственных значений краевой задачи для дифференциального уравнения. Гильберт посоветовал поискать, не обнаружатся ли дифференциальные уравнения, связанные с этими матрицами. Однако Гейзенберг и Борн только переглянулись. Они сочли это бестолковой идеей и, сопроводив долей веселого юмора, решили, что Гильберт не понимает, о чем говорит.

Когда же Гильберт узнал о создании Шредингером эквивалентного волнового варианта, пришел его черед повеселиться. Он заявил, что если бы физики его послушались, они могли бы открыть волновую механику по крайней мере за 6 месяцев до Шредингера. При этом Гильберт добавил: "Видно, физика слишком сложна, для физиков"⁶⁵. И еще он сказал, что в наше время физика достаточно важная наука, чтобы оставлять ее только физикам.

Так же эффективно и математическое моделирование. По определению, модель есть заместитель объекта, квазиобъект, на котором испытываются режимы работы исследуемого явления, и результаты переносятся с учетом масштабов на оригинал. Процедура получения информации на модели осуществляется следующим образом. Если A есть модель B, то выполняется такая зависимость y=f(x), где f - знак связи, а y и x - переменные. Если, подставляя на место x характеристики A, будем получать на месте y набор значений B. В случае математического моделирования в качестве объекта-заместителя выступает не вещь, а набор дифференциальных уравнений, решая которые исследователь выводит результат и интерпретирует его в терминах вещественных характеристик изучаемого объекта.

На этом пути чисто математически бывший президент академии наук Союза Г. Марчук получил интересный для теории и практики медицины результат, описанный им в книге "Математические модели в иммунологии". Выполненное сугубо формально вычисление привело его к парадоксальному выводу: для выздоровления в случае хронической болезни надо не понижать, а наоборот, увеличивать концентрацию вируса в организме. Этого можно достичь путем введения биостимуляторов. Отвлекая работу иммунной системы на себя, биостимуляторы создают условия для бурного размножения вируса, вызывающего хронический процесс, что, в свою очередь, обеспечит переход тлеющего течения патологии в открытую форму. А это может содействовать выздоровлению, поскольку в открытой стадии бороться с болезнью легче⁶⁶.