2. Математика - наука об отношениях

Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотноситься с реальностью. Чем-то должны характеризоваться ее объекты.

Да. Это способность вступать в отношения - количественные, пространственные. Здесь вновь проявляется особенность математического знания, именно то, что она описывает не вещи, а отношения. А. Пуанкаре подчеркивает в связи с этим: "Математик изучает не предметы, но лишь отношения между предметами, следовательно, для него вполне безразлично, будут ли данные предметы замещены какими-нибудь другими, лишь бы только не изменились при этом их отношения"²¹. Аналогичные идеи развиваются современными учеными. С. Клини, Н. Бурбаки, Р. Фейнман и др. также акцентируют внимание на том, что математика абстрагируется от естественных характеристик предметов по их свойствам и учитывает лишь отношения между ними. "Если об объектах, - пишет, например, Клини, - мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между ними в системе, то такая система называется абстрактной. В этом случае усматривается только структура системы, а природа ее объектов остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, что они согласуются с этой структурой"²². С этим, кстати, и связано одно (уже упомянутое нами ранее) из распространенных определений математики как "скопления абстрактных форм - математических структур"²³.

Итак, математика описывает отношения. По определению, отношения - это то, на основе чего вещи могут быть сравниваемы. Математика берет своим предметом количественные и пространственные отношения. Точнее сказать, она может рассматривать отношения в любых физических проявлениях, в любых физических телах и процессах, но выявляет при этом именно количественную и пространственную характеристики - количественное соотношение, интенсивность какой-либо качественной определенности или ее пространственного распределения. Отсюда способность математики к количественной обработке любой информации, выражая ее в числовых значениях.

К. Гаусс следующим образом на примере противостояния положительных и отрицательных чисел раскрывает эту особенность математики выявлять независимо от природных свойств количественные соотношения в предметах, сосчитывать и сравнивать их. Эти числа применимы лишь в том случае, пишет Гаусс, когда сосчитанное соотнесено с чем-то противоположным, так что их соединение дало бы в результате нуль. "Точнее говоря, - продолжает Гаусс, - это условие осуществляется только там, где сосчитанное составляет не субстанции (сами по себе мыслимые предметы), а соотношения между двумя предметами"²⁴. Принимая предметы расположенными в один ряд, например: A, B, C, D... притом, отношение A к B мыслится равным отношению B к C и т.д., можем понятие противоположности выразить таким образом. Перестановка членов отношения проводится так, что если переход (отношение) от A к B есть 1, то переход от B к A должен быть выражен через -1. Модель такого отношения дает перемещение в пространстве. Когда идем от A к B, а затем обратно от B к A, общий итог подобного перемещения равен нулю. Иначе говоря, AB+BA=0. Гаусс резюмирует: "Математик совершенно отвлекается от свойств предметов... Его задача ограничивается счетом и взаимным сравнением отношений"²⁵.

В силу того, что математика описывает не отдельные вещи, а их отношения, ее основное понятие "число", также представляет собой отношение. Именно: число (речь идет о конкретных числах - 5, 7, 14 и т.д.) есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Скажем, число "три" является определением всех множеств, которые можно поставить во взаимно-однозначное отношение с {A, B, C}-множеством, есть то общее свойство, присущее всем тройкам, из каких бы предметов они ни были составлены.

Конечно, это определение не безупречно. Оно таит порочный круг (idem per idem). В простейших случаях мы избегаем его, употребляя для описания числа "два" выражение "двойка" (то есть два - это все двойки), для чисел 3, 4, 5 и т.д. - соответственно: "тройка", "четверка", "пятерка". Но видимость преодоления круга становится явной уже при характеристике числа 11.

Имеются различные предложения, как избежать тавтологии. В. Куайн, в частности, пишет следующее. Если, например, число "пять" есть класс всех пятичленных классов, то n есть класс всех n-членных классов. Но можно разорвать порочный круг применения n для определения этого же n, если каждое число характеризовать через предшествующее ему число. Так, продолжает В. Куайн, имея число 5, можно число 6 представить как класс всех тех классов, которые при исключении одного члена будут принадлежать классу 5. Обратившись к самому началу ряда, 0 удобно объяснить как класс, состоящий из единственного пустого класса. Тогда 1 - класс тех классов, уменьшение которых на один член приводит к классам, принадлежащим 0, число 2 - класс тех классов, которые после исключения одного члена принадлежат классу 1 и т.д.²⁶

Дж. Фон Нойман предлагает для названной цели ввести в дефиниенсу каждого числа указание на класс предшествующих чисел. В этом случае - пустой класс o, 1 - класс, единственным членом которого является 0{ш}, 2 - класс, состоящий из двух членов: 0 и 1{o, {ш}} и т.д. Там, где Г. Фреге говорит: "класс из n членов принадлежит числу n", фон Нойман предлагает выражение: "класс из n членов - это класс, члены которого могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с членами числа n".